Variable Compleja, Taller 4
Programa de Matem´aticas, Universidad Sergio Arboleda
1. Evaluar las siguientes integrales:
(a) Rγ
z2+1
z(z2+4) dz, donde γ(t) = reit, 0 ≤t≤2πpara todos los posibles valores de r,
0< r < 2 y 2 < r < +∞.
(b) Rγ
z1/m
(z−1)mdz, donde γ(t) = 1 + 1/2eit , 0 ≤t≤2πym∈N.
(c) R2π
0ecos θcos(sen(θ))dθ = 2π. Indicaci´on: Escriba esta integral como parte de una
integral compleja.
2. Asuma que fes anal´ıtica y satisface que |f(z)−1|<1 para z∈Ω. Demostrar que
Rγ
f0(z)
f(z)dz = 0 para toda curva diferenciable a trozos cerrada γen Ω.
3. Utilizando las desigualdades de Cauchy demostrar las siguientes afirmaciones:
(a) Si fes entera y existen constantes M, R > 0 y un entero n≥1 tal que |f(z)| ≤ M|z|n
para todo |z|> R entonces fes un polinomio de grado a lo m´as n.
(b) Si fes anal´ıtica y satisface |f(z)| ≤ A(1 + |z|)η,η∈Rfijo, en Ω = {x+iy ∈
C|x∈R,−1< y < 1}entonces para cada n∈Nexiste An≥0 tal que |f(n)(x)| ≤
An(1 + |x|)ηpara todo x∈R.
4. Usando el teorema de Liouville demostrar las siguientes afirmaciones:
(a) Si fes entera y Im(f(z)) ≥0 para todo z∈Centonces fes constante. (Indicaci´on:
Considere eif(z)).
(b) Si fes entera y Re(f(z)) ≤Mpara todo z∈Centonces fes constante. (Indicaci´on:
Considere ef(z)).
(c) Si fes entera, f(0) = 0 y |f(z)−ezsen(z)|<4 para todo z∈Centonces f(z) =
ezsen(z).
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