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HIROSHIMA MATH. J. 1 (1971), 123-
Sur les Noyaux d?Ordre Fractίonnaire Associes
au Noyau de Dirίchlet
Masayuki Iτo (Received February 10, 1971)
Introduction
Soit X un espace localement compact a bace denombrable, et soit ζ une mesure de Radon positive et partout dense dans X. Rappelons qu'un noyau de Dirichlet (relatif a l e t a? ) est un noyau d'espace de Dirichlet au sens de A. Beurling et J. Deny (cf. [1]). Dans cette note, on se propose de montrer Γexistence des noyaux d'ordre fractionnaire associes au noyau de Dirichlet. Cela est une generalisation des noyaux de Riesz-Frostman dans la theorie du potentiel. En utilisant la meme maniere que dans Q4Γ], pour un noyau de Dirichlet iV, on fournira un cone convexe des noyaux de Dirichlet qui con- tient tous les noyaux d'ordre fractionnaire associes au noyau N.
- Prέliminaires
Commenςons avec quelques notations. On designe par L^2 Γespace hil- bertien des fonctions ξ -mesurables dans X, a valeurs reelles et dont les carres sont sommables, et muni de la norme usuelle. Mκ est la totalite des f onc- tions f-mesurables, bornees dans X, a valeurs reelles et a support compact, et M'K est son sous-ensemble des fonctions non-negatives. CK est Γespace des fonctions finies, continues dans X et a support compact, et muni de la topolo- gie usuelle. On designe aussi par C£ son sous-ensemble des fonctions non- negatives.
Noyaux : Soit E la σ-algebre constitute par tous les ensembles f-mesura- bles sur X. Un noyau (relatif a l e t a f ) est, par definition, une application de ExE sur Γintervalle ferme [Ό, oo] telle que, quel que soit e 0 un ensemble relativement compact de E, les applications E 2 e-+N(eQ, e) et E B e-^iV(β, e 0 ) soient completement additives et absolument continues par rapport a la mesure ξ. II est symetrique si, quels que soient ex et e 2 de E, N(eu e 2 ) = N(e 2 , ex). Voir [5].
Potentiels: Pour une fonction / de M^ et pour un ensemble e de £, Γin-
tegrale \f(y)N(e, dy) a un sens, et Γapplication E9 e->/(y)iV(e, dy) est com-
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pletement additive et absolument continue par rapport a ζ. Sa densite s'ap- pelle le potentiel de / par rapport au noyau TV. Le potentiel de / 6 Mκ est defini par la difference des potentiels de / + et de /". En general, si, pour une fonction f-mesurable / dans X, Γapplication EB e->/(y)TV(e, dγ) est definie et si elle est completement additive et absolument continue par rap- port a ξ , sa densite s'appelle aussi le potentiel de / par rapport au noyau TV, et s'ecrit TV/.
Multiplication des noyaux : Soient TVi et TV 2 deux noyaux. Alors, quels que soient el 5 e 2 de £", Γintegrale \iVi(ei, dy)N 2 (dy, e 2 ) = \TVic 1 (y)TV 2 c 2 (y)d£(y) a un sens, oύ c, est la fonction caracteristique de e, (ί = l, 2) et Nλ est la sy- metricite de Nι. Si Γapplication
ExEB (eu e 2 )-MTVi(βi, dγ)N 2 (dγ, e 2 )
est un noyau, il s'ecrit TVX TV 2 et s'appelle la multiplication de TVi et de TV 2. On remarque ici que, pour deux noyaux symetriques JVi et TV 2 , TVi TV 2 n'est pas toujours symetrique.
Topologie sur les noyaux : On note [TV] la totalite des noyaux symetri- ques. Une suite (Nn) de [TV] converge vers TVe [TV] dans [TV] avec π,—»oo si, quelle que soit / de Mκ et quel que soit K un compact de X,
limί \NHf-Nf\dξ = 0.
II est evident que [TV] est complete par cette topologie.
Espaces fonctionnels : Un espace fonctionnel H (relatif a l e t a j ) est un espace hilbertien dont Γelement est une fonction localement £-sommable dans X, a valeurs reelles et qui satisfait a la condition suivante: (1) A un compact K de X, on peut associer une constante positive A(K) telle que, quelle que soit u de ϋΓ,
\u\dξ^A(K)\u\. K Cela est la definition de J. Deny (cf. [2]). On note || || et ( , •) la norme de H et le produit scalaire associe. D'apres le theoreme de Riesz, a une fonction / de Mκ, on peut associer une fonction u/ de H, et une seule telle que, quelle que soit v de H,
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n + N 2 fn)^ converge fortement vers^ u^ dans^ H 12 avec rc-*oo. Ayant, quels que soient n, m,
il existe done une fonction u{ de H{ telle que (Nifn) converge fortement vers Ui dans Hi avec n-+°o. Par consequent, (Nifn) converge vers m et _(Nιfn
- N 2 fn)_ converge vers u presque partout pour ξ sur X, d'oύ u = ui + u 2. Montrons finalement Γenonce (3). D'apres ci-dessus, il suffit de montrer que H 12 est faiblement regulier si Hi(ί = l, 2) Test aussi. Pour une fonction u de H 12 , on peut ecrire u = uι--u 2 , oύ m e Hi et u 2 eH 2. Soit (ui>n) une suite de Hr\L^2 et qui converge fortement vers m dans H{ avec n^>oo. Alors on a
lim | | ( u i (^) f Λ + u 2 (^) f » ) - ( H i + H2)||ff1 2 <; l i m | | M I , » - M I | | ^ (^) 1 2 + l i m
d'oύ Hr\L^2 est dense dans //i 2. La demonstration est complete. Dans la proposition 1, si Hλr\H 2 = {0}, H 12 est la somme directe de Hλ et d e # 2.
Definition 2. Soit H un espace fonctionnel. On dit que H est fort s'il existe une constante c>0 telle que, quelle que soit / de Mκ, ||^/||^2 ^c\ | / |^2 dξ, oύ Uf est le potentiel dans H
PROPOSITION 2. Soit H un espace fonctionnel fort. Alors ϋ θ L^2 , et a une fonction u de H, on peut associer une fonction f de L^2 , et une seule telle que, quelle que soit υ de Hr\L^2 = L^2 ,
DEMONSTRATION. Soit u une fonction de L^2 , et considerons Γapplication
{ufeH feMκ} Buf
Alors elle est lineaire et bornee, car
De la meme maniere que dans la proposition 1, on a u 6 H et
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Soit u une fonction de H. Alors il existe une suite (/„) de Mκ telle que converge fortement vers u dans H avec n->oa, Ayant, quels que soient n, m,
il existe alors une fonction / de L^2 telle que Ton ait lim\ \fn—f 1^2 dξ = 0. On a done, quelle que soit v de Z^2 ,
(u,υ)=^υfdξ.
L'unicite de / en resulte immediatement, et la demonstration est ainsi com- plete. Posons, quels que soient eu e 2 de E,
U(eχ, e 2 ) = \ dξ,
U est le noyau de Γespace fonctionnel L^2_._ Un espace fonctionnel H a noyau positif est fort si et seulement si N— c U est de type positif, oύ c est une con- stante positive, et oύ TV est le noyau de H.
Contractions normales: Soient u et υ functions sur X. On dit que υ est une contraction normale de u si, quels que soient x 9 j d e I , | _v(x) _ ^ | _u(x) _ et I v(x) — v(y) I ^ I _u(x) — u(γ) _ , et les contractions normales operent dans un espace fonctionnel H si, quelle que soit u de H et quelle que soit v une con- traction normale de u et a valeurs reelles, v e H et ||I>||£Ξ||M||. On dit, en particulier, que la contraction module opere dans H si, quelle que soit u de H, I u I appartient a H et si sa nor me est <Ξ||u||. Un espace de Dirichlet est, par definition, un espace fonctionnel regulier et dans lequel les contractions normales operent (cf.
Principe de domination relatif: Soient JVi et N 2 deux noyaux. On dit que N-i satisfait au principe de domination relatif a N 2 si, queues que soient /, g de Mχ> Nιf^N 2 g presque partout pour ξ sur X des que la meme inega- lite a lieu presque partout pour ζ sur {% e X; f(x)>0}. En particulier, si N=Nι = N 2 , cela devient le principe de domination ordinaire, et un noyau N satisfait au principe complet du maximum si et seulement si, quelle que soit c une constante non-negative, N satisfait au principe de domination relatif a N+c. On connait qu'un noyau symetrique TV est de type positif si N satisfait au principe de domination ordinaire (cf. \J>J). II est bien connu que la contraction module (resp. les contractions nor- males) opere dans un espace fonctionnel H, il faut et il suffit que H soit a noyau positif et que son noyau satisfasse au principe de domination ordinaire
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/c ~ ^^2 /r ~ N^1 /^2 O ί W « W ^(\Nf(x)f(x)dξ(x)) (]Ng(x)g(x)dξ(x))
G
\l/2// \l/
_\f_
_2 dή (\g_
2 dή
La fonction g etant quelconque, on a NfeL^2 et \ 17V/|^2 dξ ^ \ | / |^2 <if. Mκ est
dense dans L^2 , et done, quelle que soit / de L^2 , Nf est defini et on a \ | Nf \ 2 dξ
^ \ I/|^2 dξ. Si n = 2m, on a, quelle que soit / de Mκ,
x, dγ)-N(dx, dy))^Q.
Dans le cas oύ n = 2m + l, il suffit de montrer que N—(N)^2 est de type positif. On a, quelle que soit / de Mκ,
^(f(x)-Nf(x))(f(y)-Nf(γ))N(dx, dy)
DEMONSTRATION DU THEOREME 1. On peut supposer que N est de la forme
N= Σ (NY,
oύ N est le generateur de N. Pour un nombre 0 < α ^ l , on pose
« = i n_ et alors, cela est un noyau symetrique. U—N est evidemment de type posi- tif, et en utilisant le lemme 1, quel que soit n un entier positif, (Na)n^ a un sens, et on obtient que (N)n^ — (Na)n^ est de type positif. Par consequent, quelle que soit / de L^2 , Naf est defini et appartient a L^2._ D'apres Γinegalite \ _\Naf_^2 _dξ<:\ \f_^2 d$, il existe un noyau symetrique, elementaire et de la
forme
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Soient α, β nombres positifs avec a + β<X. La multiplication Na'Nβ a un sens et Nα'N'β=N'α ffβ. On a done
Montrons que la multiplication Nα Nβ a un sens. Pour un entier positif n, Nα (Nβ)n a un sens. D'apres le calcul elementaire, on a, quel que soit m un entier positif,
i = 0 oύ αn est une constante positive, et par suite, Nα-Nβ a un sens. Par conse- quent, il en resulte immediatement que
Nα Nβ=Nα+β. L'application α-+Nα est evidemment continue pour la topologie dans [~ΛQ, et on peut construire ainsi une famille (iVα) 0 ^Λ^i des noyaux symetriques, ele- mentaires, et qui satisfait aux conditions de notre theoreme. Montrons finalement Γuncite de cette famille. Soit (Nα)o^α^i une autre famille qui satisfait aux memes conditions que ci-dessus, et soit Nrα le gene- ra teur de Nfα. II suffit de montre que, pour un nombre positif cz^—^-, Nα =Nα des que N2α = N'2α. Ecrivons
Σ ( Cα n = 0
oύ cα est une constante positive, alors,
(U-^αΠU-N^) = cl(U-NrαHU-Nrα)=
et, d'apres iVζ i V ^ i v ^ ίvi, J^-Wa = Ni-N^. On a done (U-Nα-cαU+ CaNi
L'egalite Na = N'a resultera evidemment du lemme suivant:
LEMME 2. Soient Nλ et N 2 deux generateurs de noyau elementaire. S'ils sont symetriques et iVi iV 2 = ^2 ^Vi, alors, quel que soit 0<^c<Jl, c est aussi un generateur de noyau elementaire. En effect, on pose, pour une fonction u de Mκ>
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une seule telle que, quelle que soit v de L^2 ,
(Nce. v)Hp=^vfp>edξ,
oύ ( , ) (^) H p est le produit scalaire de Hp. D'autre part, Nfp>e a un sens et Nce ^Nfp>e -f — fPtβ , car, quelle que soit / une fonction de M^ et avec f<;fPte, on a, pour toute υ Ξ> 0 de Hp,
d'oύ Nce^Nf+ —/. On a done Nfp>e + — fPtβ e Hp et, quelle que soit v de Hp,
(Ncg, v)Hp = (Nfp>e +-yfp.., v)Hp,
d'oύ Nce=Nfp>e + — fp>e, car L^2 est dense dans Hp.
Posons, pour une couple (βi, e 2 ) des ensembles relativement compacts de E,
alors, Np peut etre prolonge sur ExE, et cela est evidemment un noyau re- latif a l e t a f. Soient eu e 2 ensembles relativement compacts de E. Alors
^ (^) i ( (^) l 9 Nce2 + -±c
et
^ ( ±y eu β 2 ).
D'apres la symetricite de TV, Np est aussi symetrique. La multiplication N NP est definie et
Par consequent, quels que soient p > 0, q > 0,
On a done, quelle que soit / de Mκ,
pf(x)f(x)dξ(x)^^ I/I
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et, du fait que N est iaiblement regulier, il resulte immediatement que lim NP = N, d'oύ la famille (Np) est la resolvante associee au noyau TV".
LEMME 4. Soient Nι et N 2 deux noyaux symetriques et elementaires, et soient Ni et N 2 leur generateurs. Supposons ensuίte qu'il existe une con- stante positive c < l telle que, quelle que soit f de Mκ,
et que iYi-iV 2 = 7V 2 #^i. Si Nι — N 2 est de type positif, alors, quel que soit 0<,a<,l, (N 1 )a — (N 2 )a est aussi de type positif, oύ (Λ/)α est le noyau d'ordre a associe au noyau N{ (i = l, 2). On designe par (Ni)a le generateur de (JVi)« (i = l, 2; O ^ α ^ l ) , et on ecrit
n=
oύ Ci est une constante positive. On a alors
On a, quelle que soit / de Mκ,
)N 1 f(x)f(x)dξ(x) - \jN 2 f(x)f(x)dξ(x)
= \ (iVi)|/()1^2 dξ(x) -JI(i\Γ 2 )i/()1^2 dξ{x)
x, dy),
car Ni N 2 = N 2 Ni. D'apres le lemme 1, on a, quel que soit n un entier posi- tif,
) (i = l, 2),
et done, la multiplication ci-dessous a un sens et on a
^ ί r - (Nth)- 2
^τ (t/(iί)r)(E/ (Nth) Σ( f C1+VC2 2 2 «=0\ V C 1 + VC 1 + V C 2
Pour une f onction / de M#, on pose
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D'apres le calcul elementaire, on a
ca U+Na-{N+cU)a=Na-(ca (U-Na)+ U-
oύ
}^ N _ΰ_
On a done
D'apres le lemme 1, on obtient que
(cβ^ + 1 - (c +1)*) £/- c«iV« + (c + 1
est de type positif, d'oύ ca U+Na — (N--cU)a est de type positif.
LEMME 6. Soit Ni un noyau symetrique tel que, quelle que soit f de Mκ, Nif e L^2 et qu'il existe la resolvante (iV^O/^o associee au noyau Ni (£ = 1, 2). Si Nι—N 2 est de type positif et si Ni*N 2 = N 2 -Nu alors, quel que soit p>0> N[p) — N{ 2 p) est aussi de type positif. En effet, d'apres Γequation resolvante, on a
^ ^ (^) Σ (£ = 1,2). n = 0 En utilisant N 1 -N 2 = N 2 -NU on a _N[p) N{ 2 p) =N( 2 p) N[*>_ et done
ΛΓi*} - JV^} = (JVi -N 2 )-(U-pN[p) y(U-pNψ).
Cela indique que N[p) —Nι 2 p) est de type positif.
136 Masayuki Iτo
DEMONSTRATION DU THEOREME 2. On remarque d'abord que, quel que soit
p un nombre positif, N-- —<7 est un noyau symetrique, elementaire et dont
le generateur est de type positif, car, d'apres le lemme 3 et l'equation resol- vante,
p^ Z7 = p n = 0
oύ (N(p))p^o est la resolvante associee au noyau N. D'apres le theoreme 1, il existe le noyau (N + — Uja d'ordre α ( O ^ α ^ l ) associe au noyau N+ — U.
Montrons que, quel que soient/?>0 et q>0, (N~- — Uμ—(N+ — Uμ
est de type positif si p<?q. Soit ε un nombre positif <p. On a alors
p — ε p—ε n=o
et
U= —-— q-ε Σ((q-e)Nω)n. no^ q-e U q-ε
D'apres le lemme 1, (V( e )^ + l (^) g U^«-(N^ + ^ (^) g U^a est de type posi-
tif, et faisons ε->0, on obtient que (N-1 Uja — (N+ — Uμ est de type
positif. Soient p et q nombres positifs avec p ^ q. Alors, quelle que soit / de Mκ et quel que soit K un compact de X,
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et
J(jΓ + -j-U )afix)fix)dξ(x)-(^-)a^ I/I^2 dξ/\Naf{x)f{x)dξ{x)
avec /?/fco, et par suite, Papplication
(0,1] 9 a^Naf{x)f(x)dξ{x)
est continue. Soient a et β nombres positifs ΞSΓΪΓ. On a alors
JI Naf-Nβf\ 2 dξ = \jN2af(x)f(x)dξ(x)
-2^N{a+β)f{x)f{x)dξ{x) + \jN2βf(x)f(x)dζ(x\
et done, lorsque /?->α, Nβf converge fortement vers Naf dans Z,^2 , d'oύ Γappli-
cation (0, 1] B a^Na est continue pour la topologie dans \Jf]. L'unicite de
la famille (Na) resulte de la meme maniere que dans le theoreme 1.
Soit((iV+ — U] ) la resolvante associee au noyau (N+ — U)a.
\ p Ja /g^O \ p J N+ — U ) con- P / a.
verge vers un noyau symetrique Na]^ dans QiVH avec p-+&o. Soit
Alors, d'apres Γequation resolvante,
u)
ω J
) p Ja
Pour deux nombres positifspi^p 2 et pour une fonction / de Mκ, on a, d'ap-
res le lemme 6,
pi Ja J^ \ p 2
N+J^U) pi Ja .(N+~^U) f{x)f{x)dξ(x)\ pi Jcc
N+—U) .(N+-±U) f(x)f(χ)dξ(x),
p 2 J CL \ p 2 J a
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et done, [N+^ /^ —^1 _U _ ) {9) f converge fortement vers N^f dans L avec p->oo. V p JaJ^ J^ Γ Ayant, quel que soit p>0 et quelle que soit / d e Mκ,
on obtient que, quelle que soit / de L^2 , (N+ — U ) / est defini et que / 1 \ ( ί ) ( N + — U ) f converge fortement vers N^f dans L^2 avec p-+oo. S oit a un nombre positif < X Alors
D'apres la remarque ci-dessus, quelle que soit / de Mκ, (N + — U
(N + — U )ai2f converge fortement vers N{q)-Nal2f dans L^2 avec p-+oo. Par consequent,
Ayant, quel que soit p>0 et quelle que soit / de Mκ,
«,2-;n
e ) -;w()^*
avec q->0, (iV^Oίgo est la resolvante associee au noyau Na, d'oύ Na est faible- ment regulier et satisfait au principe de domination. On montrera ίinalement que si iV" est regulier, Na Test aussi. Voyons HΓ\L^2 CHa pour tout 0<^<Ξl, oύ H et Ha sont respectivement les espaces fonctionnels au noyau TV et au noyau Na. Pour cela, il suffit de supposer qu'il existe un constante positive C telle que, quelle que soit / de L^2 , Nf soit defini et
En effet, soient (N(p) )p^ 0 la resolvante associee au noyau N et C/V(<z) )Λ le noyau d'ordre a associe au noyau _N{p _ On a, quelle que soit / de Z 2 ,
x)^-^-\j I/I^2 dξ
Sur les Noyaux d'Ordre Fractionnaire Associes au Noyau de Dirichlet 141
LEMME 7. Soit H un espace fonctionnel dans lequel la contraction module opere. Si H est faiblement regulier et si CKΓ\H est dense dans Cκ, H est re- gulier. En effet, on note Ho Γadherent de CKΓ\H dans H, et alors, Ho est aussi un espace fonctionnel dans lequel la contraction module opere. Pour une fonction u de Ho, il existe une suite (φn) de Cκr\H qui converge fortement vers u dans H avec rc->oo. On a \φn\ e CKΓ\H et sa norme est <!||<^||, d'oύ \u\ e HQ et sa norme est <Ξ||M||. Soient N et No respectivement les noyaux de H et de Ho. En utilisant la resolvante associee au noyau iV" si c'est neces- saire, on peut supposer HCL^2_._ Soient H' et HfQ respectivement les espaces fanctionnels au noyau N+ U et au noyau No + U, alors, quelle que soit u de Hf (resp. _H',_
et HQ est evidemment un sous-espace de H'. Soit u une fonction de _H_ Alors il existe une suite (un) de Ho qui converge fortement vers u dans L^2 avec τι->°o 5 car CKΓ\H est dense dans Cκ- D'apres ci-dessus, (un) est de Cauchy dans H'o, d'oύ u e H'Q. Par consequent, H'=HQ et done, N=N 0 , d'oύ CKΓ\H est dense dans H. La demonstration du theoreme 2 est ainsi complete.
COROLLAIRE. Si un noyau symetrique N est faiblement regulier et satis- fait au principe complet du maximum, alors, quel que soit 0<Jα<[l, le noyau Na d'ordre a associe au noyau N satisfait aussi au principe complet du maximum. On connait bien qu'un noyau symetrique et elementaire N satisfait au principe complet du maximum si et seulement si son generateur N est sous-markovien (cf. _[2~} et [[5]), et done, pour qu'un noyau symetrique et faiblement regulier N satisfasse au principe complet du maximum, il faut et il suffit que, quel que soit p > 0, pN{p)^ soit sous-markovien, (N(p)) est la resol- vante associee au noyau N. II est facile de voir que si pN(p)^ est sous- markovien, alors, quel que soit n un entier positif, (pN(p))n^ Test aussi. On ob- tient done que, quel que soit/?>0, (N+ • — Uja satisfait au principe complet
du maximum, et par suite, pour tout <7>0, q{ N + /^ —^1 U \ ) ((7) est sous-markovien, ** P / a oύ((7\Γ+ — U ) ) est la resolvante associee au noyau [N+ — U L. Fai- \ * P /a J g^O \ p J sant jD-oo 5 on obtient que qN(q)^ est sous-markovien, oύ (Nω)g^ 0 est la resol- vante associee au noyau Na, d'oύ Na satisfait au principe complet du maximum. De la meme maniere que dans Q4Γ], on a le theoreme suivant:
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THEOREME 3. Soit N un noyau symetrique faiblement regulier (resp. regulier) et qui satisfait au principe de domination, et soit Na ( O ^ α ^ l ) le noyau d'ordre a associe au noyau N. Pour une mesure positive β(^0) sur [0, 1], Nμ= \Nadβ(a) est aussi faiblement regulier (resp. regulier) et satis- fait au principe de domination.
DEMONSTRATION. On peut supposer que N est un noyau symetrique et elementaire, car, quel que soit /?>0, si (N+—U)adμ(a) est un noyau fai- blement regulier et satisfait au principe de domination, Nμ possede les me-
mes proprietes que pour (N+—U)adβ(a). Par consequent, on peut sup- poser
N= Σ
n=Q oύ N est un noyau symetrique et de type positif. D'apres le lemme fonda- mental du [4], on connaϊt que, pour 0 <J t < 1,
OO oύ an est une constante non-negative et Σ α (^) w < X D'apres le lemme 1, oo^ n^ _= _ Σ cin{N)n est un generateur de noyau elementaire, et on a evidemment n = l \Nadβ(ά)= Σ(Σaπ(NYr
Lorsque N est regulier, il resulte, de la meme maniere que dans la demonst- ration du theoreme 2, que Nμ est regulier. D'apres ci-dessus, si N est un noyau de Dirichlet, Nμ Test aussi. Pour un noyau de Dirichlet JV, on pose
C(N) = {Nμ = \Nadμ.(a) β est une mesure de Radon positive (=^0) sur Q0, 1]}
et alors, C(N) est le plus petit cone convexe ferme qui contient la famille fractionnaires (Na) 0 ^a^ι de N. On ne connait pas s'il existe autres cones convexes fermes qui sont constitues par noyaux de Dirichlet et contiennent
Rέfέrences
[1]. A. Beurling et J. Deny: Dirichlet spaces, Proc. Nat. Acad. Sc. U.S.A., 45 (1959), 208-215.
