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q a p í t u l o

.... Introducción 4.2 Diagrama de cuerpo libre E q uilibrio en dos dim ensiones 4.3 Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional 4.4 Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos tuerzas 4.7 Equilibrio de un cuerpo sujeto a tres fuerzas

Equilibrio en tres dimensiones

4.8 Equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones 4.9 Reacciones en puntos de apoyo y conexiones para una estructura tridimensional ■ I : '; :V _ M m

En el capítido anterior se vio que las fuerzas externas que actúan so bre un cuerpo rígido pueden reducirse a un sistema fuerza-par en un punto arbitrario O. Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equili brio de un cuerpo rígido se pueden obtener igualando a cero a R y a Mq en las relaciones (3.52) de la sección 3.17:

4.1. INTRODUCCIÓN

2 F = 0 0 2 M 0 = 2(r X F) = (4.1)

Si se descompone cada fuerza y cada momento en sus compo nentes rectangulares, se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares que se presentan a continuación:

Las ecuaciones obtenidas se pueden emplear para determinar fuer zas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reaccio nes desconocidas ejercidas sobre éste por sus puntos de apoyo. Se ob serva que las ecuaciones (4.2) expresan el hecho de que las componen tes de las fuerzas extemas en las direcciones x, y y z están balanceadas; las ecuaciones (4.3) expresan a su vez que los momentos de las fuer zas externas con respecto a los ejes x ,y y z también están balanceados. Por tanto, para un cuerpo rígido en equilibrio el sistema de fuerzas ex temas no le impartirá un movimiento traslacional o rotacional al cuer po en consideración. Para poder escribir las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido, es esencial identificar primero todas las fuerzas que actúan so bre dicho cuerpo y, entonces, dibujar el diagrama de cuerpo libre co rrespondiente. En este capítulo se considerará primero el equilibrio de estructuras bidimensionales sujetas a fuerzas contenidas en sus pla nos y se aprenderá cómo dibujar sus diagramas de cuerpo libre. Ade más de las fuerzas aplicadas sobre una estructura, se considerarán las reacciones ejercidas sobre esta última por sus puntos de apoyo. Se aso ciará un tipo específico de reacción con cada tipo de apoyo. Se apren derá cómo determinar si una estructura está apoyada apropiadamen te, de forma que se pueda saber de antemano si las ecuaciones de equilibrio podrán resolverse para determinar las fuerzas y reacciones desconocidas. En la última parte del capítulo se considerará el equilibrio de es tructuras tridimensionales y se realizará el mismo tipo de análisis para estas estructuras y para sus puntos de apoyo.

160 Equilibrio de cuerpos rígidos EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

Fotografía 4.3 Cuando el eslabón del mecanismo de apertura del toldo para ventana se extiende, la fuerza que éste ejerce sobre el deslizador produce una fuerza normal aplicada sobre la barra, lo que causa que el toldo se abra.

Fotografía 4.4 El apoyo oscilatorio del estribo montado, que se muestra en la fotografía, se usa para apoyar el camino sobre un puente.

Fotografía 4.5 Se muestra la expansión del apoyo oscilatorio de un puente con plataforma de trabes. La superficie convexa del oscilador le permite al apoyo de la trabe moverse en forma horizontal.

4.3. REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL En la primera parte de este capítulo se considera el equilibrio de una estructura bidimensional, esto es, se supone que la estructura que se está analizando y las fuerzas aplicadas sobre la misma están contenidas en el mismo plano. De la forma más clara, las reacciones necesarias para mantener a la estructura en la misma posición también estarán contenidas en el mismo plano. Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pue den ser divididas en tres grupos que corresponden a tres tipos de apo yos (puntos de apoyo) o conexiones:

1. Reacciones equivalentes a una fuerza con una linea de acción conocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos , balancines, superficies sin fr ic ción, eslabones o bielas y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas. Cada uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento só lo en una dirección. Los apoyos mencionados anteriormente junto con las reacciones que producen se muestran en la figura 4.1. Cada una de estas reacciones involucra a una sola incóg nita, es decir, la magnitud de la reacción; dicha magnitud de be representarse con una letra apropiada. La línea de acción de la reacción es conocida y debe indicarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre. El sentido de la reacción debe ser como se muestra en la figura 4.1 para los casos de una super ficie sin fricción (hacia el cuerpo libre) o de un cable (aleján dose del cuerpo libre). La reacción puede estar dirigida en uno u otro sentido en el caso de rodillos de doble carril, eslabones, collarines sobre barras y pernos en ranuras. Por lo general, los rodillos de un carril y los balancines son reversibles y, por tan to, las reacciones correspondientes también pueden estar di rigidas en uno u otro sentido. 2. Reacciones equivalentes a una fu erza de magnitud y dirección desconocidas. Los apoyos y las conexiones que originan reac ciones de este tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies rugosas. Es tos pueden impedir la traslación del cuerpo rígido en todas direcciones pero no pueden impedir la rotación del mismo con respecto a la conexión. Las reacciones de este grupo in volucran dos incógnitas que usual mente se representan por sus componentes x y y. En el caso de una superficie rugosa, la componente perpendicular a la superficie debe dirigirse ale jándose de ésta.
2. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reaccio nes se originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y, por tanto, lo restringen por com pleto. Los soportes fijos producen fuerzas sobre toda la super ficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas forman un sistema que se puede reducir a una fuerza y un par. Las reacciones de este grupo involucran tres incógnitas, las cuales consisten en las dos componentes de la fuerza v en el momento del par.

4.3. Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional

Apoyo o conexión (^) Reacción Número deincógnitas

Rodillos o patines Balancín Superficie r sin lnccion

Fuerza con línea de acción conocida

l

Cable corto Eslabón corto Fuerza con línea de acción conocida

1

Collarín sobre una Perno sin fricción barra sin fricción en una ranura lisa

/ w 90° / _

// / / Fuerza con linca de acción conocida

1

Perno sin fricción, Superficie rugosa articulación o bisagra

a Fu en d<

a de dirección “«.conocida

2

Apoyo fijo

a F

• J Id $ 0 lÜ

uerza y par

3

Figura 4.1 Reacciones en apoyos y conexiones.

Cuando el sentido de una fuerza o un par desconocido no es evi dente, no se debe intentar determinarlo. En lugar de ello, se supondrá arbitrariamente el sentido de la fuerza o el par; el signo de la suposi ción obtenida indicará si la respuesta fue correcta o no.

reem plazada por otra. De esta forma, un sistema alternativo de ecua ciones de equilibrio es

4.5. Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales

1 F X = 0 2M a = 0 = 0 (4.6)

donde el segundo punto con respecto al cual se suman los momentos (en este caso, el punto B) no puede estar ubicado en la línea paralela al eje y que pasa a través del punto A (figura 4.2 b). Estas ecuaciones son condiciones suficientes para el equilibrio de la armadura. Las pri meras dos ecuaciones indican que las fuerzas extemas deben reducir se a una sola fuerza vertical en A. Como la tercera ecuación requiere que el momento de esta fuerza sea igual a cero con respecto al punto B, el cual no está sobre su línea de acción, la fuerza debe ser igual a cero y el cuerpo rígido está en equilibrio. Un tercer posible conjunto de ecuaciones de equilibrio es

2M a = 0 2M b = 0 2M C = 0 (4.7)

donde los puntos A, B y C no son colineales (figura 4.2¿). La primera ecuación requiere que las fuerzas externas se reduzcan a una sola fuer za en A; la segunda ecuación requiere que esta fuerza pase a través de B y la tercera ecuación requiere que pase a través de C. Como los pun tos A, B y C no son colineales, la fuerza debe ser igual a cero y el cuer po rígido está en equilibrio. La ecuación 2M A = 0, la cual expresa que la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al perno A es igual a cero, posee un significa do físico más definido que cualquiera de las otras dos ecuaciones (4.7). Éstas expresan una idea similar de balance pero lo hacen con respecto a puntos en los cuales el cuerpo rígido no está realmente articulado. Sin embargo, dichas ecuaciones son tan útiles como la primera y la selección de las ecuaciones de equilibrio no debe estar indebidamente influida por el significado físico de las mismas. De hecho, en la práctica será desea ble elegir ecuaciones de equilibrio que contengan una sola incógnita, puesto que así se elimina la necesidad de resolver ecuaciones simultá neas. Es posible obtener ecuaciones de una sola incógnita al sumar mo mentos con respecto al punto de intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas o, si dichas fuerzas son paralelas, sumar las com ponentes perpendiculares a esa dirección común. Por ejemplo, en la fi gura 4.3, en la cual la armadura mostrada se sostiene por rodillos en A y B y por un eslabón corto en D, las reacciones en A y B pueden eliminar se con la suma de las componentes x. Las reacciones en A y D se elimi nan al sumar momentos con respecto a C, y las reacciones en B y D su mando momentos con respecto a D. Las ecuaciones obtenidas son

1FX = 0 2MC = 0 2 M d = 0

Cada una de estas ecuaciones contiene una sola incógnita.

4.5. REACCIONES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS. RESTRICCIONES PARCIALES En los dos ejemplos considerados en la sección anterior (figuras 4.2 y 4.3), los tipos de apoyos usados fueron tales que era imposible que el cuerpo rígido se moviera bajo la acción de las cargas dadas o bajo cual quier otra condición de carga. En casos como éstos, se dice que el cuer po rígido tiene restricción completa. También se debe recordar que las

b) Figura 4.

164 Equilibrio de cuerpos rígidos

Figura 4.4 Reacciones estáticamente indeterminadas.

Figura 4. Restricciones parciales.

reacciones correspondientes a estos apoyos involucraban tres incógni tas, las cuales podían determinarse resolviendo las tres ecuaciones de equilibrio. Cuando se presenta una situación como ésta, se dice que son reacciones estáticamente determinadas. En la figura 4.4c/ la armadura mostrada se sostiene por pernos en A y B. Estos apoyos proporcionan más restricciones de las necesarias para evitar que la armadura se mueva bajo la acción de las cargas dadas o bajo cualquier otra condición de carga. También se observa a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 4.4 b que las reacciones correspon dientes involucran cuatro incógnitas. Puesto que, como se señaló en la sección 4.4, sólo están disponibles tres ecuaciones de equilibrio indepen dientes, se tienen más incógnitas que ecuaciones ; por tanto, no se pue den determinar todas las incógnitas. Mientras que las ecuaciones 2Aía = 0 y 2M b = 0 proporcionan, respectivamente, las componentes verti cales 6 (/y Ay, la ecuación 2F * = 0 sólo proporciona la suma Ax + Bx de las componentes horizontales de las reacciones en A y B. Se dice que las componentes A* y Bx son estáticamente indeterminadas. Estas pueden determinarse considerando las deformaciones ocasionadas en la armadu ra por la condición de carga dada, pero este método está fuera del alcan ce de la estática y corresponde al estudio de la mecánica de materiales. Los apoyos usados para sostener la armadura mostrada en la figu ra 4.5 a consisten en los rodillos en A y B. Es evidente que las restric ciones proporcionadas por estos apoyos no son suficientes para impe dir que la armadura se mueva. Aunque se impide cualquier movimiento vertical, no hay nada que evite que la armadura pueda moverse en for ma horizontal. Bajo estas circunstancias, se dice que la armadura tie ne restricción parcial. f En la figura 4.5 b se observa que las reacciones en A y B sólo involucran dos incógnitas. Como aún se tienen que cum plir tres ecuaciones de equilibrio, hay menos incógnitas que ecuacio nes y, en general, una de las ecuaciones de equilibrio no se cumplirá. Mientras que las ecuaciones = 0 y XM ¡¡ — 0 se pueden cumplir por medio de una selección apropiada de las reacciones en A y B, la ecuación - 0 no será satisfecha a menos que la suma de las com ponentes horizontales de las fuerzas aplicadas sea igual a cero. Por tan to, no se puede mantener el equilibrio de la armadura de la figura 4. bajo condiciones generales de carga. De lo anterior se concluye que si un cuerpo rígido tiene restric ción completa y si las reacciones en sus apoyos son estáticamente de terminadas, entonces habrá tantas incógnitas como ecuaciones de equi librio. Cuando esta condición no se cumple, se tiene la certeza de que el cuerpo rígido no está completamente restringido o de que las reac ciones en sus apoyos no son estáticamente determinadas; además, tam bién es posible que el cuerpo rígido no esté completamente restringi do y que las reacciones sean estáticamente indeterminadas. Sin embargo, se debe señalar que la condición ya mencionada, aun que es necesaria, no es suficiente. En otras palabras, el hecho de que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones no garan tiza que el cuerpo tenga restricción completa o que las reacciones en sus apoyos son estáticamente determinadas. Observe la figura 4.6a en la cual la armadura mostrada se sostiene por medio de rodillos en A,

1 En ocasiones se hace referencia a los cuerpos con restricción parcial como inestables. Sin embargo, para evitar confusiones entre este tipo de inestabilidad, debida a un número insuficiente de restricciones y el tipo de inestabilidad considerada en el capítulo 10, la cual está relacionada con el comportamiento de un cuerpo rígido cuando se perturba su equi librio, se reservará el uso de las palabras estable e inestable para este último caso.

PROBLEMA RESUELTO 4.

Una grúa fija tiene una masa de 1 000 kg y se usa para levantar una caja de 2 400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Deter mine las componentes de las reacciones en A y B.

D eterm inación de B. Se expresa que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas con respecto al punto A es igual a cero. La ecua ción que se obtiene no contiene a Ax ni a Ay puesto que los momentos de A* y Ay con respecto a A son iguales a cero. Si se multiplica la magnitud de cada fuerza por su distancia perpendicular a partir de A. se escribe

+']1Ma = 0: B(1.5 m) - (9.81 kN)(2 m) - (23.5 kN)(6 m) = 0 B = +107.1 kN B = 107.1 kN - * «

Como el resultado es positivo, la reacción está dirigida en la forma que se su puso.

D eterm inación de A. La magnitud de A se determina con la suma de las componentes horizontales de todas las fuerzas externas, la cual es igual a cero.

■^SF* = 0: A* 4- B = 0 A* + 107.1 kN = 0 Aj = -107.1 kN A* = 107.1 kx <- <

Como el resultado es negativo, el sentido de A* es opuesto al que se había supuesto originalmente.

D eterm inación de AtJ. La suma de las componentes verticales tam bién debe ser igual a cero

+t2F¡, = 0: A y - 9.81 kN - 23.5 kN = 0 Ay = +33.3 kN Ay = 33.3 kN f ^ Sumando vectorialmente las componentes A* y A^ se encuentra que la reacción en A es 112.2 kN üi.17.30.

Com probación. Los valores obtenidos para las reacciones se pueden comprobar recordando que la suma de los momentos de todas las fuerzas ex ternas con respecto a cualquier punto debe ser igual a cero. Por ejemplo, considerando al punto B, se escribe +"¡2Mfl = -(9.81 kN)(2 m) - (23.5 kN)(6 m) 4- (107.1 kN)(1.5 m) = 0

6 kips

• fí fí j- 3 ft 2 f t 2 ft

PROBLEMA RESUELTO 4. Se aplican tres cargas a una viga como se muestra en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las reacciones en A y B cuando P = 15 kips.

.15 kips (5 kips

i A

_b _

B,

►B x

3 ft *^ ■ o 1^1 *^ • 2 ft 2 ft

SOLUCION

16 kips Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la viga. La reacción en A es vertical y se representa con A. La reacción en B se representa con las componentes Bx y By. Se supone que cada com ponente actúa en la dirección mostrada en la figura.

Ecuaciones de equilibrio. Se escriben las tres ecuaciones de equili brio siguientes y se resuelven para las reacciones señaladas: ¿*LFX= 0: B = 0 B, = 0 4

+ r\lMA = 0: —(15 kips)(3 ft) + B;/(9 ft) —(6 kips)(ll ft) —(6 kips)(13 ft) = 0 BtJ = +21.0 kips B,, = 21.() kips f

lili

■ i

• ^ M fi = 0: -A (9 ft) + (15 kips)(6 ft) — (6 kips)(2 ft) —(6 ldps)(4 ft) = 0 A = +6.00 kips A = 6.00 kips ]

m.

Com probación. Se comprueban los resultados sumando las compo nentes verticales de todas las fuerzas externas.

• |EF!/= +6.00 kips — 15 kips + 21.0 kips —6 kips —6 kips = 0

Observación. En este problema las reacciones en A y B son vertica les; sin embargo, las razones de lo anterior son diversas. En A la viga se apo ya en un rodillo; por tanto, la reacción no puede tener una componente ho rizontal. En B, la componente horizontal de la reacción es igual a cero debido a que se debe cumplir la ecuación de equilibrio = 0 y a que ninguna de las otras fuerzas que actúan sobre la viga tiene una componente horizontal. A primera vista se hubiera podido observar que la reacción en B era ver tical y se pudo haber omitido la componente horizontal B.* Sin embargo, es ta práctica no es conveniente. Al seguirla, se corre el riesgo de olvidar a la componente Br cuando las condiciones de carga reqineran su presencia (es to es, cuando se incluye una carga horizontal). Además, se encontró que la componente Bx es igual a cero utilizando y resolviendo una ecuación de equi librio, 2F.,. = 0. Al dar por hecho que Bv es igual a cero, es posible no per catarse de que en realidad se ha hecho uso de esta ecuación y, por tanto, se podría perder la relación del número de ecuaciones disponibles para resol ver el problema.

S i l

iáü

i f p É l ! i f |

■íllfellíP

PROBLEMA RESUELTO 4.

20 kN 20 kN 20 kN 20 kN

1 .8 m I.8111 I.8111 1. 8 m|

je
, 3.

\e (^) V 7 1

130 kN

El marco mostrado en la figura sostiene una parte del techo do un pequeño edificio. Se sabe que la tensión en el cable es de 150 kN, determine la reac ción en el extremo fijo F,.

SOLUCIÓN

Diagrama de euerpo libre. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del marco junto con el cable BDF. La reacción en el extremo fijo E está re presentada con las componentes de fuerza Ex y E y y por el par Mg. Las otras fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre son las cuatro cargas de 20 kN y la fuerza de 150 kN ejercida en el extremo F del cable. Ecuaciones de equilibrio. Observe que DF = V (4.5 m) + (6m )2 = 7.5 m, se escribe -^SF* = 0:

+ |SFV= 0:

+12M£ = 0:

Ex + ^4(150 kN) = 0

Ex = -9 0 .0 kN 6

¡ t f l ¡IÉI ■ l i l i

Ev = 90.0 kN

% - 4(20 kN) - -fV(150 kN) = 0 v 7. Ey = +200 kN (^) Ev = 200 kN t < (20 kN)(7.2 m) + (20 kN)(5.4 m) + (20 kN)(3.6 m)

• (20 kN)(1.8 m) - ^ ( 1 5 0 kN)(4.5 m) + ME = 0 /.ü Mt := +180.0 kN- m Mt- = 180.0 k.NI •m i <

' m W É M

Un peso de 400 lb se une a la palanca mostrada en la figura en el punto A.^ H^ ¡ La constante del resorte BC es k = 250 lb/in. y éste no se encuentra defor-

PROBLEMA RESUELTO 4. Un peso de 400 lb se une a la palanca n La constante del resorte BC es k = 250 mado cuando 0 = 0. Determine la posición de equilibrio.

SOLUCIÓN

i * n m

Diagrama del cuerpo libre. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la palanca junto al cilindro. Represente con s la elongación del resorte a partir de la posición en que éste no se encuentra deformado y observe que s = r0, se tiene que F = ks = krd. Ecuación de equilibrio. Sumando los momentos de W y de F con respecto a O, se escribe kr +1£M0 = 0: Wl sen 6 — r(kr6) = 0 sen 0 = — j 0 Wl Sustituyendo los datos numéricos que fueron proporcionados se obtiene

sen 0 = 0.

Al resolver numéricamente, se encuentra 0 = 0 9 = 80.3° ^

Ü5&Í

_ (250 lb/in.)(3 in.) Senfl~ (400 lb)(8 in.) 9

R E S O L U C I Ó N DE P R O B L E M A S

EN F O R M A I N D E P E N D I E N T E

Se vio que las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido que se encuen tra en equilibrio forman un sistema equivalente a cero. Para resolver un problema de equilibrio la primera tarea consiste en dibujar un diagrama de cuerpo libre que sea claro y de tamaño razonable en el cual se muestren todas las fuerzas externas. Se deben incluir tanto las fuerzas conocidas como las desconocidas.

Para un cuerpo rígido bidimensional, las reacciones en los apoyos pueden invo lucrar una, dos o tres incógnitas dependiendo del tipo de apoyo de que se trate (figura 4.1). Un diagrama de cuerpo libre es esencial para resolver de manera co rrecta un problema. Nunca se debe continuar con la solución de un problema mien tras no se este seguro de que en el diagrama de cuerpo libre están presentes todas las cargas, todas las reacciones y el peso del cuerpo (cuando esto último sea apro piado).

Cuando se construya el diagrama de cuerpo libre será necesario asignar direccio nes a las reacciones desconocidas. Se sugiere suponer siempre que estas fuerzas ac túan en una dirección positiva, de forma que las respuestas positivas siempre im pliquen fuerzas actuando en una dirección positiva, mientras que los resultados negativos impliquen siempre fuerzas que actúan en una dirección negativa. De for ma similar, se recomienda suponer siempre que la fuerza desconocida en una ba rra o cable es de tensión, de manera que una respuesta positiva siempre signifique una reacción de tensión. Por otra parte, mientras que una reacción negativa o com presiva es posible para una barra, es imposible para un cable y, por tanto, una res puesta negativa en este último caso implicará un error en la solución al problema.

1. Se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio y resolverlas para tres in cógnitas. Las tres ecuaciones pueden ser

2 F x = 0 2Fy = 0 2 M C>= 0

Sin embargo, existen varios conjuntos de ecuaciones que se pueden escribir, tales como

XFx = 0 2MA = 0 2MB = 0

donde el punto B se selecciona de manera que la b'nea AB no sea paralela al eje y, o

2MA = 0 2MB = 0 2MC = 0

donde los puntos A, B y C no se encuentran sobre una línea recta.

2. Para simplificar la solución resulta conveniente utilizar alguna de las técni cas de solución que se presentan a continuación, siempre y cuando sean aplicables al caso en consideración.

Problemas

1.44ft 1.8 ft

Figura P4.

0.6 iri 0.4 m

4.1 Dos niños están parados sobre un trampolín que pesa 146 lb. Si los pesos de los niños ubicados en C y D son, respectivamente, de 63 v 90 lb, determine a) la reacción en A, b ) la reacción en B.

4.2 El mástil montado en un camión de 9 500 lb se usa para descar gar de la plataforma la pila de tejas de 3 500 lb que se muestra en la figura. Determine la reacción en las llantas a) traseras, B, b) delanteras, C.

1.3 ft

0.9 m 2.0 m^

— | k 0.5 m Figura P4.

Figura P4.3 y P4.

8 in

... T

Figura P4.

4.3 Una grúa móvil levanta una carga de madera que pesa W = 25 kN. El peso del mástil ABC y el peso combinado de la camioneta y el con ductor son los indicados en la figura. Determine la reacción en las llantas a) delanteras, H, b) traseras, K.

4.4 Una grúa móvil levanta una carga de madera que pesa W = 25 kN. Si la tensión es de 25 kN en todos los tramos del cable AEF y el peso del mástil ABC es de 3 kN, determine, a) la tensión en la varilla CD, b) la reacción en la articulación B.

4.5 Para mover dos barriles con peso de 80 lb cada uno se utiliza una carretilla. Sin tomar en cuenta la masa de la carretilla, determine a) la fuer za vertical P que debe aplicarse en el manubrio para mantener el equilibrio cuando a = 35°, b) la reacción correspondiente en cada una de las dos Hie das.

4.6 Resuelva el problema 4.5 si a = 40°.

4.7 Cuando los automóviles C y D se detienen sobre un puente de dos Problemas -| 7 3 carriles, las fuerzas que ejercen sus llantas sobre el puente son las indicadas en la figura. Determine las reacciones totales en A y B cuando a) a = 2.9 m, b) a = 8.1 m.

4.8 Cuando los automóviles C y D se detienen sobre un puente de dos carriles, las fuerzas que ejercen sus llantas sobre el puente son las indicadas en la figura. Si ambos automóviles están sobre el puente, determine a) el va lor de a para el cual la reacción total en A es máxima, b) las reacciones to tales correspondientes en A y B.

4.9 Una manivela tiene una barra de control conectada en A y dos cuerdas unidas a los puntos B y C, como indica la figura. Para la fuerza da da en la barra, determine el rango de valores para la tensión de la cuerda en C cuando las cuerdas deben permanecer tensas y la tensión máxima permi tida en una cuerda es de 36 Ib.

4.10 Se aplican tres cargas, como indica la figura, sobre una viga lige ra sostenida mediante cables unidos en B y D. Si se ignora el peso de la vi ga, determine el rango de valores de Q para los cuales ninguno de los cables pierde tensión cuando P = 0.

4.11 Se aplican tres cargas, como indica la figura, sobre una vaga lige ra sostenida mediante cables unidos en B y D. Si la máxima tensión permi sible en cada cable es de 12 kN y se ignora el peso de la viga, determine el rango de valores de Q para los cuales la carga está segura cuando P = 5 kN.

7.5 kN

0.5 m 0.75 m Figura P4.10 y P4.

0.75 m

Figura P4.

4.16 Un seguidor ABCD se mantiene contra una leva circular gracias a la acción de un resorte estirado, el cual ejerce una fuerza de 6 lb para la posición mostrada en la figura. Si la tensión en la barra BE es de 4 lb, de termine a) la fuerza ejercida sobre el rodillo en A, b) la reacción en el co jinete C.

Problemas 175

4.17 Determine las reacciones en A y B cuando a) a c) a = 30°.

0, h) a = 90°,

4.18 Resuelva el problema 4.17, suponiendo que la fuerza de 330 N se reemplaza con un par de 82.5 N •m en el mismo sentido que las mane cillas del reloj.

4.19 La palanca BCD está articulada en C v unida a una barra de con trol en B. Si P = 200 X, determine a) la tensión en la barra AB, b) la reac ción en C.

Figura P4.

4.20 La palanca BCD está articulada en C y unida a una barra de con trol en fí. Si el máximo valor permisible para la reacción en C es de 500 N, determine la fuerza máxima P que puede aplicarse en forma segura sobre D.

4.21 La fuerza requerida que debe ejercer la palanca ABC en A es de 3 Ib. Si a = 30° y el resorte se ha estirado 1.2 in., determine a) la constante k del resorte, b) la reacción en B.

4.22 La fuerza requerida que debe ejercer la palanca ABC en A es de 3.6 lb. Si el resorte estirado ejecuta una fuerza de 12 lb en C, determine a) el valor de a, b) la reacción en B.

176 Equilibrio de cuerpos rigidos 4.23 y 4.24 Una barra de acero se dobla para formar una ménsula de

marco. Para cada una de las ménsulas y cargas mostradas, determine las reac ciones en A y B.

a) b) Figura P4.

loo N

fl) Figura P4.

100 N

4.25 Una palanca AB está articulada en C y unida a un cable de con trol en A. Si la palanca se somete a una fuerza vertical de 60 lb en el punto B, determine a) la tensión en el cable, b) la reacción en C.

reo ll>

4.26 Para el marco y las cargas mostradas en la figura, determine las reacciones en A y £ cuando a) a = 2 in., b) a = 7.5 in.