Exercice 4.
D´eterminer le rayon de convergence Rdes s´eries enti`eres suivantes, ainsi que leur somme sur
l’intervalle ] −R, R[.
P
n≥0
(i) A(x) = (2n+ 3n)xn, (ii) B(x) = P
n≥0
(3n+ 1)x3n, (iii) C(x) = P
n≥0
1
(2n)! x4n,
(iv) D(x) = P
n≥0
sin(n)xn, (v) E(x) = P
n≥0
4n
n+1 xn+1, (vi) F(x) = P
n≥0
cos(n)
n!xn.
Exercice 5.
On consid`ere la s´erie enti`ere P
n≥2
(−1)n
n(n−1) xn.
1. D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere, de sa s´erie d´eriv´ee et de sa s´erie
d´eriv´ee seconde.
2. Calculer la valeur de sa somme S.
Indication. On pourra commencer par calculer la d´eriv´ee seconde de S.
3. En d´eduire la valeur de
I=
+
X
∞
n=2
(−1)n
n(n−1).
Exercice 6.
Montrer que les fonctions suivantes sont d´eveloppables en s´erie enti`ere, et calculer leur d´eve-
loppement.
(i) f(x) = excos(x), (ii) g(x) = ln(1+x)
x, (iii) h(x) = 2
x2−4x+3
(v) j(x) = Rx
0e−t2 dt, (vi) k(x) = ln(6-5 x + x2).
eexercice 4.
Quelle est la nature de la série de terme général un =1
2+sinnp
4
?
Calculer
+
∞
n=0
unoù un=e−2nch n.
1) Vérifier que, pour tout n∈N∗,ona
1
n(n+ 1)(n+2) =1
2n−1
n+1+1
2(n+2).
2) Pour n1onposeun=1
n(n+ 1)(n+2).Soit Sn=
n
k=1
uk,la
elsomme parti le de rang ne la série de terme général un. Montrer que
Sn=1
4+1
2
1
n+2−1
n+1
d
.
3) En déduire que la série de terme général unconverge et calculer sa somme
+
∞
n=1
S=un.
è
P
K
H
j
èA A
JË@ X
Yª
JÓ
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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Faculté Polydisciplinaire de Taza
Analyse 3 (série 3)
Anne´ 2018-2019
Filières : SMP
(S3) TD
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.
