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circuito no instante em que a variação abrupta ocorre. (Seção 7.3.) ō A solução para a resposta natural ou para a res- posta a um degrau de circuitos RL e RC é deter- minada a partir do valor inicial e do valor final da corrente ou tensão de interesse e da cons- tante de tempo do circuito. As equações 7.59 e 7.60 resumem essa abordagem. (Seção 7.4.) ō O chaveamento sequencial em circuitos de pri- meira ordem é analisado dividindo-se a aná- lise em intervalos de tempos correspondentes a posições específicas da chave. Valores iniciais para um intervalo particular são determinados
pela solução correspondente ao intervalo ime- diatamente anterior. (Seção 7.5.) ō Uma resposta indefinidamente crescente ocorre quando a resistência de Thévenin é negativa, o que é possível quando o circuito de primeira ordem contém fontes dependentes. (Seção 7.6.) ō Um amplificador-integrador consiste em um amp op ideal, um capacitor no ramo de reali- mentação negativa e um resistor em série com a fonte de sinal. A saída do amplificador-integra- dor é a integral da fonte de sinal, dentro de limi- tes especificados que evitam a saturação do amp op. (Seção 7.7.)
Problemas
Seção 7.
7.1 A chave no circuito da Figura P7.1 esteve aberta por um longo tempo. Em t = 0, ela é fechada. a) Determine i (^) o (0) e io (q). b) Determine io ( t ) para t $ 0. c) Em quantos milissegundos, após a chave ter sido fechada, io atingirá 100 mA? Figura P7. 16 V 12 V
4 V 8 V
20 V 80 mH
i (^) o 1 t = 0 2
7.2 A chave no circuito da Figura P7.2 esteve fechada por um longo tempo. Em t = 0, ela é aberta. a) Escreva a expressão para i (^) o ( t ) para t $ 0.
b) Escreva a expressão para v o ( t ) para t $ 0 +.
Figura P7.
20
50 V
50
t = 0
io 75 0,02 H v o 60 15
3
7.3 No circuito mostrado na Figura P7.3, a chave conecta-se com a posição b imediatamente antes de desconectar-se da posição a. Como já mencionamos, esse tipo de chave é conhe- cido como liga-antes-interrompe-depois e é projetada de modo a não interromper a cor- rente em um circuito indutivo. Admite-se que o intervalo de tempo entre ‘ligar’ e ‘desligar’ é desprezível. A chave esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela muda da posi- ção a para a posição b. a) Determine a corrente inicial no indutor. b) Determine a constante de tempo do cir- cuito para t. 0.
c) Determine i , v 1 e v 2 para t $ 0.
d) Qual percentagem da energia inicial armazenada no indutor é dissipada no resistor de 90 V 1 ms depois de a chave ser mudada da posição a para a posição b? Figura P7.
60 V^70
30 9 i
90 9
0,32 H
v 1
v 2
t 0
a b
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Capítulo 7 ō Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem (^271)
7.4 A chave no circuito da Figura P7.4 esteve na posição 1 por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição 2.
Determine v o ( t ) para t $ 0 +.
Figura P7. 13 V
8 V
90 V 30 V 6 V
12 V
2
36 mH
v o
1 t = 0
1
1
7.5 Para o circuito da Figura P7.4, qual percenta- gem da energia inicial armazenada no indutor será dissipada no resistor de 6 V? 7.6 As duas chaves no circuito visto na Figura P7. são sincronizadas. Elas estiveram fechadas por um longo tempo antes de se abrirem em t = 0. a) Em quantos microssegundos, depois da abertura das chaves, a energia dissipada no resistor de 4 kV é 10% da energia ini- cial armazenada no indutor de 6 H? b) No tempo calculado em (a), qual percen- tagem da energia total armazenada no indutor foi dissipada? Figura P7.
6 H
105 mA 80 kV
t 5 0
1 kV 4 kV
t 5 0
20 kV
7.7 No circuito da Figura P7.7, a chave esteve fechada por um longo tempo antes de ser aberta em t = 0.
a) Determine o valor de L de modo que v o ( t )
seja igual a 0,5 v o (0+) quando t = 1 ms.
b) Determine a porcentagem de energia armazenada que foi dissipada no resistor de 10 V quando t = 1 ms. Figura P7.
1 kV 10 V
t 5 0
9 kV
30 mA L
1
2
v o
7.8 A chave no circuito da Figura P7.8 esteve fechada por um longo tempo, antes de ser aberta em t = 0. a) Determine i 1 (0-) e i 2 (0-). b) Determine i 1 (0+) e i 2 (0+). c) Determine i 1 ( t ) para t $ 0. d) Determine i 2 ( t ) para t $ 0 +. e) Explique por que i 2 (0-) ≠ i 2 (0+). Figura P7.
80 V
t 0 i 2 4 k 9 640 mH
2 k 9 12 k 9 i 1
7.9 A chave mostrada na Figura P7.9 esteve aberta durante um longo tempo, antes de seu fecha- mento em t = 0.
a) Determine i o (0-), i L (0-) e v L (0-).
b) Determine i o (0+), i L (0+) e v L (0+).
c) Determine i o (q), iL (q) e v L (q).
d) Escreva a expressão de iL ( t ) para t $ 0. e) Escreva a expressão de i (^) o ( t ) para t $ 0 +.
f) Escreva a expressão de v L ( t ) para t $ 0 +.
Figura P7. 50 V
25 V
200 V
50 mH
i (^) o i (^) L i = 0
v L 2
1
1
7.10 A chave no circuito da Figura P7.10 esteve na posição 1 por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição 2. Determine o valor de R de modo que 10% da energia inicial armazenada no indutor de 10 mH seja dissipada em R em 10 ms. Figura P7.
100 V R
t 5 0 10 mH
1 2
5 A
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272 Circuitos elétricos
a) a energia total dissipada no resistor de 7,5 kV; b) a energia final retida nos indutores ideais. 7.19 No circuito mostrado na Figura P7.19, a chave esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente de a para b. a) Determine i (^) o ( t ) para t $ 0. b) Qual é a energia total fornecida ao resis- tor de 8 V? c) Quantas constantes de tempo são neces- sárias para se atingir 95% da energia determinada em (b)? Figura P7.
12 A 150 V 8 V
t 5 0 8 mH 2 mH
30 V (^) a b i (^) o
7.20 A fonte de 240 V, e resistência interna de 2 V, no circuito da Figura P7.20, sofre
inadvertidamente um curto-circuito em seus terminais a , b. No instante em que a falha ocorre, o circuito estava em funcionamento havia um longo tempo. a) Qual é o valor inicial da corrente i ab de curto-circuito entre os terminais a , b? b) Qual é o valor final da corrente i ab? c) Em quantos microssegundos, depois de o curto-circuito ter ocorrido, a corrente de curto atinge 114 A? Figura P7.
1 240 V 2
10 V
2 mH
15 V
6 mH
2 V a
b
Seção 7.
7.21 A chave no circuito da Figura P7.21 esteve na posição esquerda por um longo tempo. Em t = 0, ela passa para a posição direita, onde permanece. a) Determine a queda de tensão inicial no capacitor. b) Determine a energia inicial armazenada pelo capacitor. c) Determine a constante de tempo do cir- cuito para t. 0. d) Escreva a expressão para a tensão do
capacitor v( t ) para t $ 0.
Figura P7. 10 kV
10 mA (^) 20 kV (^) 50 kV 75 kV
t = 0 v 400 nF
10 kV
7.22 A chave do circuito mostrado na Figura P7. esteve aberta por um longo tempo antes de seu fechamento em t = 0. Escreva a expressão
para a tensão do capacitor, v( t ), para t $ 0.
Figura P7.
20 mA 20 k 60 k 40 nF^ v
10 k
t = 0
7.23 A chave no circuito da Figura P7.23 esteve na posição esquerda por um longo tempo. Em t = 0, ela passa para a posição direita, onde permanece. a) Escreva a expressão para a tensão do
capacitor, v( t ), para t $ 0.
b) Escreva a expressão para a corrente que passa pelo resistor de 40 kV, i ( t ), para t $ 0 +.
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274 Circuitos elétricos
Figura P7. 5 kV
120 V 10 k^ 160 nF
t = 0 v
40 k
25 k 10 k
i
7.24 Qual porcentagem da energia inicial armaze- nada no capacitor da Figura 7.23 é dissipada pelo resistor de 40 kV?
7.25 A chave no circuito da Figura P7.25 esteve na
posição a por um longo tempo e v 2 = 0 V. Em
t = 0, a chave é colocada na posição b. Calcule
a) i , v 1 e v 2 para t $ 0 +,
b) a energia armazenada no capacitor de 30 mF em t = 0 e c) a energia final retida no circuito e a ener- gia total dissipada no resistor de 2,5 kV, se a chave permanecer na posição b indefinidamente. Figura P7. a
6 mA
b 2,5 k
5 k 30 mF
t = 0 v 1 v 2
i 60 mF
7.26 No circuito mostrado na Figura P7.26, ambas as chaves funcionam em conjunto; isto é, abrem- -se ou fecham-se ao mesmo tempo. Elas esti- veram fechadas por um longo tempo antes de se abrirem em t = 0. a) Quantos microjoules de energia foram dissipados no resistor de 12 kV, 12 ms depois da abertura das chaves? b) Quanto tempo leva para dissipar 75% da energia inicialmente armazenada? Figura P7.
1
2 120 V mmFF
t (^5 0) t 5 0
12 kV
1,8 kV
(^103) 68 kV
7.27 A chave no circuito da Figura P7.27 é fechada em t = 0, após permanecer aberta por um longo tempo. a) Determine i 1 (0-) e i 2 (0-). b) Determine i 1 (0+) e i 2 (0+). c) Explique por que i 1 (0-) = i 1 (0+). d) Explique por que i 2 (0-) ≠ i 2 (0+). e) Determine i 1 ( t ) para t $ 0. f) Determine i 2 ( t ) para t $ 0 +. Figura P7.
t 5 0
20 V 5 V 2 V
100 mA (^2) mF
1 V 1 2
i 2 i 1 3 V
7.28 A chave no circuito da Figura P7.28 esteve na posição 1 por um longo tempo antes de passar para a posição 2, em t = 0. Determine io ( t ) para t $ 0 +. Figura P7.
1 2
2 1
15 V
5 i (^) o
15 V
t 5 0
1
2
4,7 kV
i (^) o 2 mF
7.29 No circuito da Figura P7.29 as expressões para a tensão e a corrente são
v = 72 e -^500 t^ V, t $ 0;
i = 9 e - 500t^ mA, t $ 0 +. Determine a) R. b) C. c) t (em milissegundos). d) A energia inicial armazenada no capacitor. e) Em quantos microssegundos 68% da energia inicial armazenada no capacitor são dissipados.
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Capítulo 7 ō Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem (^275)
Figura P7.
50 mA 5 k
20 k
t = 0
i
200 mH 75 k
50 k (^) 75 V
7.36 A chave do circuito mostrado na Figura P7. esteve na posição a por um longo tempo antes de passar para a posição b em t = 0. a) Determine as expressões numéricas para
i L ( t ) e v o ( t ) quando t $ 0.
b) Determine os valores numéricos para
v L (0+) e v o (0+).
Figura P7.
12 5 mH (^) b a
32 V 8 6 A
t = 0
i (^) L v L v o
7.37 A chave do circuito mostrado na Figura P7. esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posi- ção b. a) Determine a expressão numérica para i (^) o ( t ) quando t $ 0. b) Determine a expressão numérica para
v o ( t ) para t $ 0 +.
Figura P7.
45 A
b a io
t = 0
5
60 20
5
240 V
v o 10 mH
7.38 Repita o Problema 7.37, assumindo que a chave no circuito da Figura P7.37 esteve na posição b por um longo tempo e passa para a posição a em t = 0, onde permanece.
7.39 A corrente e a tensão nos terminais do indu- tor no circuito da Figura 7.16 são i ( t ) = (4 + 4 e -^40 t ) A, t $ 0;
v( t ) = - 80 e -^40 t^ V, t $ 0 +.
a) Especifique os valores numéricos de V (^) s , R , I (^) o e L. b) Em quantos milissegundos, depois do fechamento da chave, a energia armaze- nada no indutor atinge 9 J? 7.40 a) Use os valores dos componentes do Apên- dice H para criar um circuito RL de pri- meira ordem (veja a Figura 7.16) com uma constante de tempo de 8 ms. Use um único indutor e uma rede de resistores, se neces- sário. Desenhe seu circuito. b) Suponha que o indutor que você esco- lheu em (a) não tenha nenhuma energia inicial armazenada. Em t = 0, uma chave conecta uma fonte de tensão com um valor de 25 V em série com o indutor e o resistor equivalente. Escreva uma expres- são para a corrente no indutor para t $ 0. c) Usando o resultado obtido em (b), cal- cule o tempo em que a corrente no indu- tor atinge 75% de seu valor final. 7.41 A chave do circuito mostrado na Figura P7. esteve fechada por um longo tempo. Ela se abre em t = 0. Para t $ 0 +:
a) Determine v o ( t ) em função de Ig , R 1 , R 2 e L.
b) Explique o que acontece com v o ( t )
quando R 2 aumenta indefinidamente.
c) Determine vSW em função de Ig , R 1 , R 2 e L.
d) Explique o que acontece com vSW quando
R 2 aumenta indefinidamente. Figura P7.
1
2
R 2
I (^) g R 1 L v o ( t )
1 vsw 2
t 5 0
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Capítulo 7 ō Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem (^277)
7.42 A chave no circuito da Figura P7.42 esteve fechada por um longo tempo. Uma aluna abre abruptamente a chave e relata a seu professor que, quando a chave foi aberta, estabeleceu- -se um arco elétrico de notável persistência na chave e, ao mesmo tempo, o voltímetro ligado nos terminais do enrolamento foi danificado. Tendo como base sua análise do circuito do Problema 7.41, você pode explicar à aluna por que isso aconteceu? Figura P7.
1 2
R
Vbb^ Voltímetro ded´Arsonval L
t 5 0
7.43 a) Deduza a Equação 7.47, convertendo, em primeiro lugar, o equivalente de Thévenin da Figura 7.16 em um equivalente de Nor- ton e, depois, somando as correntes que
saem do nó superior, usando a tensão v
no indutor como a variável de interesse. b) Use a técnica da separação de variáveis para determinar a solução para a Equa- ção 7.47. Verifique se sua solução está de acordo com a dada na Equação 7.42. 7.44 A chave no circuito da Figura P7.44 esteve aberta por um longo tempo, antes de ser fechada em t = 0. Determine i (^) o ( t ) para t $ 0. Figura P7.
50 V
20 V
0,1vf
40 mH 40 V
10 V^15 V 140 V
10 A
i (^) o (t) t = 0
vf
7.45 A chave no circuito da Figura P7.45 esteve aberta por um longo tempo, antes de ser
fechada em t = 0. Determine v o ( t ) para t $ 0 +.
Figura P7.
20 mA 15 V 4 mH 9 i D
1
2
v o 50 mA
10 V 5 V^ t^^5
8 V
i D
7.46 A chave no circuito da Figura P7.46 esteve aberta por um longo tempo, antes de fechar
em t = 0. Determine v o ( t ) para t $ 0 +.
Figura P7.
15 mH
45 mH 2 kV 3 kV 80 V
10 mA
v o
t = 0
7.47 A chave no circuito da Figura P7.47 esteve na posição 1 por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição 2. Em quantos milissegundos, depois do aciona-
mento da chave, v o atinge 100 V?
Figura P7.
1
2
10 V
3 H 1,5 H 40 V
1 2
v o
t 5 0
50 V (^21)
7.48 Para o circuito da Figura P7.47, determine (em joules): a) a energia total dissipada no resistor de 40 V; b) a energia retida nos indutores; c) a energia inicial armazenada nos indutores. 7.49 A chave liga-antes-interrompe-depois do cir- cuito da Figura P7.49 esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instan- taneamente para a posição b. Determine
a) v o ( t ), t $ 0 +.
b) i 1 ( t ), t $ 0. c) i 2 ( t ), t $ 0. Figura P7.
15 V 120 V
a b
25 mA 60 mH
1
2
v o 50 mA
t 5 0
i 1 i 2 40 mH
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278 Circuitos elétricos
7.56 O circuito da Figura P7.56 está em operação por um longo tempo. Em t = 0, a fonte de tensão inverte a polaridade e a fonte de corrente cai de
3 mA para 2 mA. Determine v o ( t ) para t $ 0.
Figura P7.
2
1 80 V 40 kV 3 mA v o
1
2
10 kV 4 kV
24 kV 0,05 mF
7.57 A chave do circuito na Figura P7.57 esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição b. No instante em que a chave faz contato com o
terminal b , a chave 2 abre-se. Determine v o ( t )
para t $ 0. Figura P7.
1 2 50 V^ 250 nF
1
5 mA 2
a b
v o
1
2
60 kV 20 kV
t 5 0 t 5 0
40 kV
7.58 A corrente e a tensão nos terminais do capa- citor no circuito da Figura 7.21 são i ( t ) = 3 e - 2.500 t^ mA, t $ 0 +;
v( t ) = (40 - 24 e - 2.500 t ) V, t $ 0.
a) Especifique os valores numéricos de Is , V (^) o , R , C e t. b) Em quantos microssegundos, após a chave ter sido fechada, a energia arma- zenada no capacitor atinge 81% do seu valor final? 7.59 a) Use os valores dos componentes do Apên- dice H para criar um circuito RC de pri- meira ordem (veja a Figura 7.21) com uma constante de tempo de 250 ms. Use um único capacitor e uma rede de resistores, se necessário. Desenhe seu circuito. b) Suponha que o capacitor que você esco- lheu em (a) tem uma queda de tensão ini- cial de 100 V. Em t = 0, uma chave conecta uma fonte de corrente com valor de 1 mA em paralelo com o capacitor e o resistor
equivalente. Escreva uma expressão para a queda de tensão no capacitor para t $ 0. c) Usando o resultado obtido em (b), cal- cule o tempo em que a queda de tensão no capacitor atinge 50 V. 7.60 A chave do circuito mostrado na Figura P7. abre em t = 0 depois de estar fechada por um longo tempo. Em quantos milissegundos, depois de a chave estar aberta, a energia armazenada no capacitor atinge 36% de seu valor final? Figura P7.
33 kV 47 kV 16 kV
25 i b
i b
t (^5 0) 0,25 mF 120 mA
7.61 A chave do circuito mostrado na Figura P7. esteve na posição OFF (DESLIGADO) por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instan- taneamente para a posição ON (LIGADO).
Determine v o ( t ) para t $ 0.
Figura P7.
25 kV 90 kV
15 kV 30 kV 300 V 25 nF
OFF ON
10 10 3 i D
i D
t = 0
6 mA v o
7.62 Suponha que a chave no circuito da Figura P7.61 esteve na posição ON por um longo tempo, antes de ser colocada instantanea- mente na posição OFF em t = 0. Determine
v o ( t ) para t $ 0.
7.63 a) Deduza a Equação 7.52 convertendo, em primeiro lugar, o circuito equivalente de Norton, mostrado na Figura 7.21, para um equivalente de Thévenin e, então, somando as tensões ao longo do laço fechado, usando a corrente i do capacitor como a variável relevante. b) Use a técnica de separação de variáveis para determinar a solução para a Equa- ção 7.52. Verifique se sua solução está de acordo com a da Equação 7.53.
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280 Circuitos elétricos
7.64 A chave no circuito da Figura P7.64 esteve na posição x por um longo tempo. A carga ini- cial no capacitor de 60 nF é igual a zero. Em t = 0, a chave passa instantaneamente para a posição y.
a) Determine v o ( t ) para t $ 0 +.
b) Determine v 1 ( t ) para t $ 0.
Figura P7.
15 kV
x y
4 mA 30 kV 30 nF
60 nF (^) 120 kV
60 kV (^) 90 V
v 1 t = 0 (^) v 0
(^)
7.65 A chave no circuito da Figura P7.65 esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição b. Para t $ 0 +, determine
a) v o ( t ).
b) i (^) o ( t ).
c) v 1 ( t ).
d) v 2 ( t ).
e) a energia final armazenada nos capacito-
res quando t S q.
Figura P7.
1 2
1 2
2,2 kV (^) a b 6,25 kV
40 V v o
v (^1) 80 V
t 5 0^ io
v 2
0,2 mF
0,8 mF
1
2
1 2 1 2
7.66 Não há nenhuma energia armazenada nos capacitores C 1 e C 2 no instante em que a chave é fechada, no circuito visto na Figura P7.66.
a) Deduza as expressões para v 1 ( t ) e v 2 ( t )
para t $ 0. b) Use as expressões deduzidas em (a) para
determinar v 1 (q) e v 2 (q).
Figura P7.
V (^) g
Rg (^) t 5 0
2
1 v 2 ( t )
C 1 1 2 C 2
2
1 v 1 ( t )
Seção 7.
7.67 Repita (a) e (b) do Exemplo 7.10 com a indu- tância mútua reduzida a zero. 7.68 Não há nenhuma energia armazenada no cir- cuito da Figura P7.68 no instante em que a chave é fechada. a) Determine i (^) o ( t ) para t $ 0.
b) Determine v o ( t ) para t $ 0 +.
c) Determine i 1 ( t ) para t $ 0. d) Determine i 2 ( t ) para t $ 0. e) Suas respostas fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito? Figura P7.
1
2
1 2
250 V
0,5 H
0,25 H 10 V
t 5 0
i 1
0,25 H i 2
v o
i (^) o
7.69 Não há nenhuma energia armazenada no cir- cuito da Figura P7.69 no instante em que a chave é fechada. a) Determine i ( t ) para t $ 0.
b) Determine v 1 ( t ) para t $ 0 +.
c) Determine v 2 ( t ) para t $ 0.
d) Suas respostas fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito? Figura P7.
4,5 kV
90 V 15 mH
20 mH
40 mH
t = 0 i ( t )
v 1 ( t )
^ v^2 ( t )
7.70 Repita o Problema 7.69 colocando o ponto na parte superior do enrolamento de 40 mH.
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Capítulo 7 ō Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem (^281)
