Sample Exam 6: Chapters 6, 8, and 12
#1a) Convolve graphically continuous-time signals
ÄÅ[ÆÇÈpÉIÊ-ËLÌ
and
ÄÍÆ.Ç/ÌjÎÂÏÍÆÇ"Ì
.
#1b) Using the sliding tape method find the discrete-time convolution
ÐÑÒUÓÔÕ±Ð
Í
ÒEÓ3Ô
, where
Ð
Ñ
ÒEÓLÔÖØ×Ù
Ù
Ù
Ú
Ù
Ù
ÙÛ
É ÓÜÖ%Ý
Þ
ÓÜÖ
Þ
ß
ÓÜÖ
ß
Þ
ÓÜÖAà
Ý áIâ/ãäåæèç§é@äMê
ÐÍÒEÓLÔÖØ×Ù
Ù
Ù
Ú
Ù
Ù
ÙÛ
Þ
ÓÜÖ
Þ
ß
ÓÜÖ
ß
È
Þ
ÓÜÖAà
ÈÉ ÓÜÖ%Ë
Ý áIâ"ãäKå"ægçé@ä
#2A) Consider the continuous-time linear system represented in the state space form by
ëLì
í
Ñ
Æ.Ç/Ì
ì
í
ÍÆ.Ç/Ìî
Ö
ë
Ý É
È
Þ
È
ß
î
ë
í
Ñ
ÆÇ"Ì
í
ÍÆÇ"ÌIî
Î
ë
Ý
É)î
ÐMÆ.Ç/Ì
ê
ë
í
Ñ
ÆÝLïÌ
í
ÍÆÝ3ïÌî
Ö
ë
Þ
Ýjî
ð
ÆÇ"ÌÖ°Ò
ß
ÝjÔ
ë
í
Ñ
ÆÇ"Ì
í
Í
ÆÇ/Ì
î
a) Find the system transition matrix
ñ\ÆòÌ
, and obtain
ñPÆÇ"Ì
using the Laplace inverse transform.
b) Find the system transfer function.
c) Find the system state response for
ÐqÆÇ"Ì\Ö³óaÆÇ"Ì
and the given initial conditions.
d) Find the system output response (
ð
ÆÇ/Ì
) due to
ÐqÆÇ"Ì#Öõô
ï
Å/ö÷
Æ.Ç/Ì
and the given initial conditions.
#2B) Consider the discrete-time linear system represented in the state space form by
ë
í
Ñ
ÒUÓvÎAÉ·Ô
í
ÍÒUÓtÎAÉ·Ô
î
Ö
ë
Ý É
È
Ñ
ø
Èúù
ø
î
ë
í
Ñ
ÒEÓLÔ
í
ÍÒEÓ3Ô
î
Î
ë
ß
Ý
î
ÐÒ-ÓLÔ
ê
ë
í
Ñ
ÒUÝÔ
í
ÍÒUÝÔ
î
Ö
ë
É
Þ
î
ð
Ò-ÓLÔFÖ°ÒEÝ
Þ
Ô
ë
í
Ñ
ÒUÓLÔ
í
ÍÒUÓLÔ î
a) Find the system transition matrix
ñ\Æû3Ì
. Obtain
ñxÒEÓ3Ô
via the
ü
-transform
b) Find the system transfer function.
c) Find the system output response (
ð
ÒEÓ3Ô
) due to
ÐjÒEÓLÔMÖ7ý"È
Ñ
þ(ÿ
÷
Ò-ÓLÔ
and the given initial conditions.
d) Given the system represented by
ð
ÒEÓÎÂËÔÎ
ð
Ò-ÓiÎmàIÔÈ
ð
ÒEÓÎ
ß
ÔÈ
ð
ÒEÓtÎ
Þ
ÔÎ
Þ
ð
ÒUÓiÎGÉKÔÈ
Þ
ð
Ò-ÓLÔMÖ%ÐjÒEÓÎ
ß
Ô(Îmà(ÐjÒEÓLÔ
Find the system state space form.
#3) The system open-loop system transfer function is given by
Æ@òÌ#Ö
òÆògÎGÉÌ"Æò\Î
Þ
Ì"Æò\Î0Ë3Ì
Assuming the unity feedback system and the system asymptotic stability for some values of the static
gain
, find the steady state step, ramp, and parabolic errors in terms of
.
Hint: Some common pairs:
÷
Æ.Ç/Ì
É
ò
ê
ô
ï
ö
÷
ÆÇ"Ì
É
ògÎ
ê
Ç@ô
ï
ö
÷
ÆÇ"Ì
É
ÆògÎ
Ì
Í
ê
÷
Ò-ÓLÔ
û
ûÈ
ê
Ó
÷
Ò-ÓLÔ
Lû
Æ@ûÈ
Ì
Í
6
Docsity.com